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正答
④ √(2k／(3m))
解き方のポイント
滑らずに転がるという条件がポイントです。並進と回転が連動するため、見かけの質量が増えます。
床との摩擦力をfとすると、直線運動は m(d²x/dt²)＝kx−f です。
回転運動は I(d²θ/dt²)＝fr で、一様円板の慣性モーメントは I＝(1／2)mr² です。滑らないので θ＝x／r の関係が成り立ち、代入すると f＝(m／2)(d²x/dt²) となります。
これを直線運動の式に戻すと
m(d²x/dt²)＝kx−(m／2)(d²x/dt²) ⇒ (3m／2)(d²x/dt²)−kx＝0
つまり等価質量が 3m／2 になっています。固有角振動数は
ωn＝√{k／(3m／2)}＝√(2k／(3m))
滑らずに転がる物体は「回転させるぶんだけ動きにくい」ため、単純なばね質点系の √(k/m) より小さい値になります。この大小関係を知っていれば、①③⑤は即座に除外できます。
この問題で問われている知識
固有角振動数／転がり運動／等価質量／一様円板の慣性モーメント I＝mr²/2
