技術士一次試験 機械部門 令和6年 Ⅲ-29 解答・解説｜ハーゲン・ポアズイユ流れの速度分布

正答

④ u＝(R²／4μ)(−dp／dx){1−(r／R)²}

解き方のポイント

円管内ポアズイユ流れの速度分布を導出する問題です。選択肢を見比べるだけでも絞り込めます。

①微小要素の力の釣り合い。 半径rの円柱状要素について、圧力による力とせん断応力による力が釣り合います。

τrz・2πr dz＋pπr²−(p＋dp)πr²＝0 ⇒ τrz＝(r／2)(dp／dz)

②ニュートンの粘性法則。 τrz＝μ(dv／dr)

③積分する。 ①②より dv／dr＝r／(2μ)・dp／dz なので、rで積分して

v＝r²／(4μ)・dp／dz＋C

④境界条件。 管壁では流体が動かないので r＝R のとき v＝0（すべりなし条件）です。これより C＝−R²／(4μ)・dp／dz が決まり

v＝(R²／4μ)(−dp／dz){1−(r／R)²}

選択肢の絞り込み方を押さえておくと本番で速く解けます。

・r＝R で 0 になるか … ①②③⑤はこれを満たしません・r＝0（管中心）で最大になるか … 放物線分布の頂点が中心に来る形か・係数は 1／(4μ) … ①③の 1／(2μ) は積分定数の扱いを誤った形

速度分布が放物線になり、平均流速が最大流速の半分になる、というのがポアズイユ流れの特徴です。

この問題で問われている知識

ハーゲン・ポアズイユ流れ／層流／ニュートンの粘性法則／すべりなし条件／速度分布／粘性係数μ