技術士一次試験 機械部門 令和6年 Ⅲ-21 解答・解説｜台車と棒の連成振動系

正答

⑤ ア＝(M＋m)、イ＝ml、ウ＝ml、エ＝(I＋ml²)

解き方のポイント

台車の並進と棒の回転が連動する連成系です。2つの運動方程式を立て、ジョイント反力Fを消去するのが手順になります。

①台車の運動方程式。 台車が+x方向に動くとき、ばねから −kx、ジョイントCから −F を受けるので

Mẍ＝−kx−F …①

②反力Fを表す。 棒の重心Gの位置は xG＝x＋lθ（線形化：sinθ≒θ）なので ẍG＝ẍ＋lθ̈。Fは棒の慣性で生じる力なので

F＝mẍG＝mẍ＋mlθ̈ …②

②を①に代入して整理すると

(M＋m)ẍ＋mlθ̈＋kx＝0 ⇒ ア＝(M＋m)、イ＝ml

③棒の回転運動方程式。 重心まわりの慣性モーメントIで、重力トルク −mgθ・l とジョイント反力によるトルク −Fl を受けるので

Iθ̈＝−mgθl−Fl …③

②を代入して整理すると

Iθ̈＝−mglθ−l(mẍ＋mlθ̈) ⇒ mlẍ＋(I＋ml²)θ̈＋mglθ＝0 ⇒ ウ＝ml、エ＝(I＋ml²)

エが(I＋ml²)になるのは平行軸の定理によるものです。重心まわりのIに、距離lぶんの ml² が加わってジョイントCまわりの慣性モーメントになります。③④のように ml² だけの選択肢は、Iを足し忘れた誤答です。

なお線形化しているので sinθ≒θ、cosθ≒1 と扱います。①④のように cosθ が残っている選択肢は、この前提と矛盾します。

この問題で問われている知識

連成振動／線形化／平行軸の定理／慣性モーメント／一般化座標／並進と回転の連成