技術士一次試験 機械部門 令和6年 Ⅲ-19 解答・解説｜剛体棒の回転振動と慣性モーメント

正答

① (ρAl³／3)θ̈＋ka²θ＝0、ωn＝√{3ka²／(ρAl³)}

解き方のポイント

並進ではなく回転の運動方程式を立てる問題です。「力＝質量×加速度」ではなく「トルク＝慣性モーメント×角加速度」で考えます。

①ばねによる復元トルク。 ばねはO点から距離aの位置にあり、微小回転θでの変形量は aθ です。ばね力は kaθ、これに腕の長さaを掛けて

T＝kaθ×a＝ka²θ

②慣性モーメント。 O点まわりに回転する一様な棒なので、定義から積分します。

I＝∫x²dm＝∫₀ˡ x²(m／l)dx＝(m／l)[x³／3]₀ˡ＝(1／3)ml²

質量は m＝ρAl なので I＝ρAl³／3 です。端点まわりは ml²／3、重心まわりは ml²／12 という違いを混同しないでください。②④はこの取り違えによる誤答です。

③運動方程式。 I θ̈＋ka²θ＝0 に代入して

(ρAl³／3)θ̈＋ka²θ＝0

④固有角振動数。 「θ̈の係数分の、θの係数」の平方根です。

ωn＝√(ka²／I)＝√{ka²／(ρAl³／3)}＝√{3ka²／(ρAl³)}

ωnは必ず √(復元項／慣性項) の形になります。③のように分子分母が逆の選択肢は、次元を確認すれば除外できます。

この問題で問われている知識

回転の運動方程式／慣性モーメント I＝∫x²dm／端点まわり ml²/3／固有角振動数／復元トルク