技術士一次試験・選択問題の解答例を公開！解答の考え方やポイントも解説。
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目次
正答
④ (1／2)m(ṙ²＋r²θ̇²)＋mgr cosθ−(1／2)k(r−L)²
解き方のポイント
ラグランジアンは L＝T−U（運動エネルギー引くポテンシャルエネルギー）です。TとUを別々に作って引き算するだけなので、手順を分ければ難しくありません。
①運動エネルギーT。 座標は x＝r sinθ、z＝−r cosθ です。rもθも時間変数である点に注意して微分します。
ẋ＝ṙ sinθ＋rθ̇ cosθ、ż＝−ṙ cosθ＋rθ̇ sinθ
T＝(1／2)m(ẋ²＋ż²) に代入すると、三角関数の項が sin²＋cos²＝1 でまとまり
T＝(1／2)m(ṙ²＋r²θ̇²)
第1項が伸縮、第2項が回転による運動エネルギーです。極座標での速度の2乗はこの形になる、と覚えてしまって構いません。
②ポテンシャルエネルギーU。 2種類あります。
・重力による位置エネルギー … Ug＝−mgr cosθ（支点より下なので負）・バネの弾性エネルギー … Us＝(1／2)k(r−L)²（自然長Lからの伸びは r−L）
U＝−mgr cosθ＋(1／2)k(r−L)²
③ラグランジアン。 L＝T−U なので
L＝(1／2)m(ṙ²＋r²θ̇²)＋mgr cosθ−(1／2)k(r−L)²
バネの伸びを r ではなく (r−L) とするのがポイントです。①③のように kr² となっている選択肢は、自然長を引き忘れた誤答になります。
この問題で問われている知識
ラグランジュの方程式／ラグランジアン L＝T−U／極座標／運動エネルギー／弾性エネルギー
